PROPIEDADES DE LOS LIMITES

                                           PROPIEDADES DE LOS LIMITES

Si b y c son numeros reales y n es un entero, entonces decimos que

lim b=b

xc

EJEMPLOS:

MULTIPLO ESCALAR, SUMA O DIFERENCIA , PRODUCTO , COCIENTE Y POTENCIA

LIMITES LATERALES

                                                  LIMITES LATERALES

Diremos que el limite de una funcion f(x) cuando x tiende hacia  a por la derecha es L











EJEMPLO (CUADERNO)

Limites

                                                                LIMITES

El límite de la función f(x) en el punto x₀, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x₀. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x₀.

Se dice que la funcion f(x) tiene como limite el numero L cuando zx tiende a x_0, Si fijando un numero real positivo , mayor que 0, existe un numero positivo , dependiente del numero real, tal que, para todos los valores de x distintos de x₀  que cumplen la condición |x − x₀| < R  , se cumple que |f(x) − L| < R
Podemos definir el concepto de limite con la siguiente forma:


                                                

TRABAJO 8 ( FUNCIONES PARES E IMPARES )

TRABAJO 7 ( FUNCION MONOTONA )

FUNCIÓN MONÓTONA

Una funcion entre conjuntos ordenados se dice monótona ( o isotona) si conserva el orden dado.

En calculo se habla de funciones monotonamente crecientes y monotonamente decrecientes ( o simlemente crecientes y decrecientes ), en la teoria del orden se usan los terminos monotona y antitona, o se hablade funciones que conserva e inverte el orden.

La funcion f es monotona "si y solo si x ≤ y " implica f(x) ≤ f(y) ( es decur, la funcion es decreciente) en otras palabras una funcion es monotona si conserva el orden.


Funcion monotona creciente.



Funcion monotona decreciente

TRABAJO 6 ( FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE )

FUNCION CRECIENTE

Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x₁  y x₂, con la condición x₁ £ x₂, se verifica que f( x₁ ) < f( x₂ ).

 

Se dice estrictamente creciente si de x₁ < x₂ se deduce que f(x₁) < f(x₂

 

Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto

 

f(x) £ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

FUNCION DECRECIENTE

Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x₁  y x₂, que cumplan x₁ £ x₂, entonces f(x₁ ) ³ f(x₂ ).

Siempre que de x₁ < x₂ se deduzca f(x₁ ) > f(x_2 )

, la función se dice estrictamente decreciente.

Análogamente, una función es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a - e, a + e) en el que

 

f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y

f(x) £ f(a) si x pertenece a (a, a + e).

 

TRABAJO 5 ( FUNCION INVERSA )

FUNCIONES INVERSAS:
Dada una función f(x), su inversa es otra función, designada por f^-1(x) de forma que se verifica: si f(a) = b, entonces f^-1(b) = a

 

· Pasos a seguir para determinar la función inversa de una dada:

 

1.-Despejar la variable independiente x.

2.-Intercambiar la "x" por la "y", y la "y" por la "x."

3.-La función así obtenida es la inversa de la función dada.

EJEMPLO:
Hallar la función inversa de y = 5x - 2,

 

 

· Se intercambian ambas variables:

 

                                                                                            _{EJEMPLO ( CUADERNO )}

 

                

TRABAJO 4 ( FUNCIONES TRASCENDENTES )

FUNCIONES TRASCENDENTESLa variable independiente figura como exponente o como indice de la raiz o se halla afectada del signo logaritmico o de cualqiera de los signos que emplea la trigonometria.

FUNCION EXPONENCIAL
Es una función de la forma f(x) = ax, donde a>o y a≠1 .cuyo dominio son los números reales y el rango son los reales mayores que cero. La grafica que se obtiene es una curva ascendente si a>1 y descendente si o<a<1.

FUNCION LOGARÍTMICA
Es una función inversa a la función exponencial, es de la forma f(x) = logax, donde a>o y a≠1. La grafica que se obtiene es una curva simétrica a la función exponencial.

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS




f(x) sen x = Funcion de seno

f(x)cos x = Funcion coseno

f(x) tan x = Funcion tangente


f(x) cot x = Funcion cotangente



f(x) sec x = Funcion secante

f(x) cscx = Funcion cosecante

TRABAJO 3 ( FUNCIONES INYECTIVA, SUPRAYECTIVA, BIYECTIVA)

                           Funciones Inyectivas

Una función f entre los conjuntos A y B se dice que es inyectiva, cuando cada elemento de la imagen de f lo es, a lo sumo, de un elemento de A. Suele decirse también que la función es uno-a-uno. Dicho de otra forma:



f :A −→ B es inyectiva ⇐⇒ ∀a1, a2 ∈ A [a1 =6 a2 =⇒ f(a1) =6 f(a2)]



La “mejor forma” de probar en la practica la inyectividad de una función es utilizar la contra reciproca,
es decir,


f :A −→ B es inyectiva ⇐⇒ ∀a1, a2 ∈ A [f(a1) = f(a2) =⇒ a1 = a2]

                                              En la figura anterior f  es inyectiva y g no lo es.

                             Funcione Suprayectiva

  Una funcion f entre los conjuntos A y B se dice que es suprayectiva, sobreyectiva o exhaustiva, cuando cada elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Es decir,

                   f :A −→ B es suprayectiva ⇐⇒ ∀b ∈ B, ∃a ∈ A tal que f(a) = bEn otras palabras, f es sobreyectiva si la imagen de f es todo el conjunto B, es decir si Img
(f) = B.

                             Funcion Biyectiva
  Una función f entre los conjuntos A y B se dice que es biyectiva, cuando es, a un tiempo, inyectiva y suprayectiva.
Ejemplo: Sea f :A −→ B tal que A = B = R y f(x) = 2x − 3, ∀x ∈ A. ¿Es biyectiva?


EJEMPLOS.-  (CUADERNO)

TRABAJO 2 ( TIPOS DE FUNCIONES )

                                                            FUNCIÓN LINEAL
Es una función de la forma f(x) = mx + b, donde m es la pendiente y b es la abscisa donde la recta intercepta al eje. La grafica que se origina es una línea recta, si m es positiva la recta se inclina hacia la derecha y si m es negativa la recta se inclina hacia la izquierda. EJEMPLO:

 

FUNCIÓN CONSTANTE

Es una función de la forma f(x) = k, donde k es una constante. La grafica que se origina es una línea recta paralela al eje x.

El dominio de la función constante son todos los números reales y el rango es un conjunto unitario formado por el elemento imagen de todos los elementos del dominio. EJEMPLO:

 

 

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Es una función de la forma f(x) = ax2+ bx +c, donde a,b,c y son números reales. La grafica de la función cuadrática es una curva llamada parábola; si a es positiva, la grafica abre hacia arriba y si a es negativa la grafica abre hacia abajo.

La ecuación algebraica tiene el 2 como máximo exponente de la variable. EJEMPLO:

.

FUNCIÓN POLINOMICA
Una función Polinómica es de la forma f(x) = anxn+an-1xn-1+…+a donde an,an-1,…,a son constantes reales y n es numero entero no negativo que indica el grado de p(x), siempre que an≠0. EJEMPLO:

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

Es de la forma f(x) = IxI, cuyo dominio son los reales y el rango son los reales mayores o iguales a cero. La grafica que se obtiene es una curva en forma de v.

 FUNCIÒN RAIZ CUADRADA
Es una función que asigna a un argumento su raíz cuadrada positiva. Es de la forma f(x) = √x , donde el dominio de la función son los valores de x que hacen que el radicando sea positivo y el rango son los reales mayores o iguales a cero. La grafica que se obtiene es una curva ascendente que está por encima del eje x


FUNCiÓN RACIONAL
Es una función de la forma f(x) = p(x)/q(x) , donde p(x) y q(x) son polinomios y q(x)≠0. La función racional no está definida para valores de x en el cual q(x) se hace diferente de cero, este valor al representarlo gráficamente es una asíntota. La grafica que se obtiene son curvas interrumpidas por la asíntota.

TRABAJO 1 (FUNCION, DOMINIO, CONTRADOMINIO)

Funcion: Es aquella donde f es representada por 2 conjuntos A,B donde entre ellos existe  una regla de correspencia que a cada elemento de A se le asocia un unico de B ejemplo :
Al conjunto A se le denomina DOMINIO de una funcion y al conjunto B CONTRADOMINIO de una funcion.

Dominio: Todos los valores que contienen el conjunto A o valores de x.Contradominio: Todos los valores que contiene al conjunto B o a los valores de "y"