Portafolio de evidencias Calculo Diferencial: noviembre 2013

viernes, 22 de noviembre de 2013

TEOREMA DE L’HOPITAL

Este enunciado o en este caso regla de L’Hopital como consecuencia del teorema de valor medio de Cauchy en el caso de las indeterminaciones

$\frac{0}{0}$ ó $\frac{\infty}{\infty}$

La demostracion o representacion de lo anterior seria lo siguiente:

“Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b], y sean f(c)=g(c)=0, con c perteneciente a (a,b) y g'(x)≠0 si x≠ c .

Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f'/g' en c, existe el límite de f/g (en c) y es igual al anterior’. Por lo tanto,
$\lim_{x \to c}{f(x)\over g(x)} = \lim_{x \to c}{f'(x) \over g'(x)}$

O sea que cuando en la funcion del limite en dado caso que el resultado te de cero sobre cero o infinito sobre infinito , se aplicara la regla de L’Hopital que dice de la funcion se van a derivar las funciones f y g.

Como por ejemplo esta aplicacion sencilla de la dicha regla:

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \cfrac{0}{0}$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \quad \xrightarrow{\mathrm{l'H \hat{o} pital}} \quad \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} = \frac{1}{1} = 1$

Que en este caso se muestra que la primera operacion se obtiene una indeterminacion por que se hizo de manera directa pero al hacerla con la regla se aprecia que a la funcion seno de x sobre x se deriva por el coseno de x sobre 1 que daria igual a 1/1=1 y se obtiene un resultado determinado.

L’HOPITAL INVESTIGACION

En matematicas, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-Bernoulli¹ es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar limites de funciones que estén en forma indeterminada .

Esta regla recibe su nombre en honor al matematico frances del siglo XVll Guillaume Francois Antoine, marques de l´Hopital (1661-1704) , quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre calculo diferencial , aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli ,que fue quien la desarrolló y demostró

FUNCION IMPLICITA

Una función y(x) se llama implícita cuando está definida de la forma F(x, y) = 0 en lugar de la habitual.

Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de $\mathbb{R}^2$ entre las variables x e y:
$y^3 + y^2 + 5xy + x^2 + x + y = 0 \,$

Para poder derivar una función implícita se usa la regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en función de la variable independiente:
Dada una función $F(x,y) \,$ , implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x:
$\frac{dy}{dx} = f'(x)$ .
Si consideramos $y = f \left ( x \right )$ es una función en términos de la variable independiente x y $G \left ( y \right )$ es una función en términos de la variable dependiente y, dado que $y = f \left ( x \right )$ , entonces para obtener la derivada:
$D_x \left( G \left( y \right) \right) = D_x \left( G \left( f \left( x \right) \right) \right) = G' \left( f \left( x \right) \right) \left( f' \left( x \right) \right)$

EJEMPLO:

Obtener la derivada de:

$6x^2y + 5y^3 + 3x^2 = 12 - x^2y^2 \,$

El término $6x^2y$ Se puede considerar que son dos funciones, $6x^2$ y $y$ por lo que se derivara como un producto:

$D_x \left ( 6x^2y \right ) = \left ( 12x \right ) \cdot y + \left ( 6x^2 \right ) \cdot \left ( \frac{dy}{dx} \right )$

El término $5y^3$ se deriva como:

$D_x \left ( 5y^3 \right ) = 15y^2 \cdot \frac {dy}{dx}$

El término $3x^2$ se deriva de forma normal como:

$D_x \left ( 3x^2 \right ) = 6x \,$

El valor constante 12, que no depende ni de x ni de y, tiene por derivada 0, como corresponde a un valor constante.

$D_x \left ( 12 \right ) = 0 \,$

Para el término $x^2y^2$ se puede considerar como un producto y se deriva como:

$D_x \left ( x^2y^2 \right ) =2xy^2 + x^2 \cdot \left ( 2y \cdot \frac {dy}{dx} \right )$

Al unir todos los términos se obtiene:

$12xy + 6x^2 \cdot \frac{dy}{dx} + 15y^2 \cdot \frac{dy}{dx} + 6x = - 2xy^2 -2x^2y \cdot \frac{dy}{dx}$

Ordenando

$6x^2 \cdot \frac{dy}{dx} + 15y^2 \cdot \frac{dy}{dx} + 2x^2y \cdot \frac{dy}{dx}= -12xy - 6x- 2xy^2$

Factorizando respecto a ( $\frac {dy}{dx}$ ) los valores son:

$\left ( 6x^2 + 15y^2 + 2x^2y \right ) \cdot \frac{dy}{dx} = - \left ( 12xy + 6x + 2xy^2 \right )$

Finalmente despejando $\frac {dy}{dx}$ se obtiene la derivada de la función implícita:

$\frac{dy}{dx} = - \frac { 12xy + 6x + 2xy^2 } { 6x^2 + 15y^2 + 2x^2y }$

LA REGLA DE LA CADENA

Si U es una function deferenciable de (x), y (f) es una funcion diferenciable de u, entonces f es una funcion diferenciable de x.

Ejemplos

[f(u)]

f'(u)

Tomando f(x) = x³, obtenemos

u³

3u²

Mas ejemplos:

1.-

(1+x²)³

3(1+x²)²

(1+x²)

3(1+x²)²^,2x

6x(1+x²)²

2.-

(x+x²)³

2(x+x²)^-3

2(-3)(x+x²)^-4

(x+x²)

-6(x+x²)^-4

(1+2x)

-6(1+2x)

(x+x²)⁴

CONCEPTO DERIVADA Y REGLA DE LOS 4 PASOS

La derivada de una función se define como el límite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando tiende a cero.

Para encontrar la derivada de una función se utiliza la Regla General para la Derivación que consta de cuatro pasos:

Primer paso.- Se sustituye en la función “X” por (X + ΔX), y “Y” por (Y + ΔY).

Segundo paso.- Se resta a la nueva función el valor de la función original, obteniendo únicamente Δy ( incremento de la función ).

Tercer paso.- Se divide la nueva ecuación Δy (incremento de la función ) entre Δx ( incremento de la variable independiente).

Cuarto paso.- Se calcula el límite cuando Δx (incremento de la variable independiente ) tiende a cero.

Ejemplo 1: Y = x³ + 2x² – 3x – 1

Regla 1. Incrementar las 2 variables (Variables X y Y). Acá se les pone el Incremento Delta (∆) representado por un triangulo a cada variable.

Y + ∆y = (x + ∆x)³ + 2(x + ∆x)² – 3(x + ∆x) – 1

Regla 2. Desarrollar operaciones algebraicas y restarle la función original. Algebraicamente se desarrolla la ecuación (ej. binomios, trinomios) y terminado se le restará la función original al resultado.

Y + ∆y = (x + ∆x)³ + 2(x + ∆x)²– 3(x + ∆x) – 1

Y + ∆y = (x³ + 3x²∆x + 3x∆x² + ∆x³) + 2(x² + 2x∆x + ∆x²) – 3x – 3∆x – 1

Y + ∆y = x³ + 3x²∆x + 3x∆x² + ∆x³ + 2x² + 4x∆x + 2∆x² – 3x – 3∆x – 1

∆y = 3x²∆x + 3x∆x² + ∆x³ + 4x∆x + 2∆x² – 3∆x

Paso 3. Obtener la razón dividiendo la función incrementada por ∆x. Es decir, dividir cada elemento entre ∆x para así eliminar valores delta (∆x)

∆y/∆x = 3x² + 3x∆x + ∆x² + 4x + 2∆x – 3

Paso 4. Sustituir ∆x cuando tiende a 0 que es el límite de la función. Sustituiremos todos los ∆x por [0] en toda la ecuación y se multiplicara (Variable multiplicada por 0 da 0)

∆y/∆x = 3x² + 3x[0] + [0]² + 4x + 2[0] – 3

∆y/∆x = 3x² + 4x – 3

Este es el resultado final de una derivación mediante la regla de los 4 pasos para derivar una ecuación.

lunes, 18 de noviembre de 2013

LA REGLA DE LA CADENA

http://www.youtube.com/watch?v=RNU8JlKGisA