CONCEPTO DERIVADA Y REGLA DE LOS 4 PASOS

La derivada de una función se define como el límite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente cuando tiende a cero.

Para encontrar la derivada de una función se utiliza la Regla General para la Derivación que consta de cuatro pasos:

Primer paso.- Se sustituye en la función “X” por (X + ΔX), y “Y” por (Y + ΔY).

Segundo paso.- Se resta a la nueva función el valor de la función original, obteniendo únicamente Δy ( incremento de la función ).

Tercer paso.- Se divide la nueva ecuación Δy (incremento de la función ) entre Δx ( incremento de la variable independiente).

Cuarto paso.- Se calcula el límite cuando Δx (incremento de la variable independiente ) tiende a cero.

Ejemplo 1:  Y = x³ + 2x² – 3x – 1

Regla 1. Incrementar las 2 variables (Variables X y Y). Acá se les pone el Incremento Delta (∆) representado por un triangulo a cada variable.

Y + ∆y = (x + ∆x)³ + 2(x + ∆x)² – 3(x + ∆x) – 1

Regla 2. Desarrollar operaciones algebraicas y restarle la función original. Algebraicamente se desarrolla la ecuación (ej. binomios, trinomios) y terminado se le restará la función original al resultado.

Y + ∆y = (x + ∆x)³ + 2(x + ∆x)² – 3(x + ∆x) – 1

Y + ∆y = (x³ + 3x²∆x + 3x∆x² + ∆x³) + 2(x² + 2x∆x + ∆x²) – 3x – 3∆x – 1

Y + ∆y = x³ + 3x²∆x + 3x∆x² + ∆x³ + 2x² + 4x∆x + 2∆x² – 3x – 3∆x – 1

∆y = 3x²∆x + 3x∆x² + ∆x³ + 4x∆x + 2∆x² – 3∆x

Paso 3. Obtener la razón dividiendo la función incrementada por ∆x. Es decir, dividir cada elemento entre ∆x para así eliminar valores delta (∆x)

∆y/∆x = 3x² + 3x∆x + ∆x² + 4x + 2∆x – 3

Paso 4. Sustituir ∆x cuando tiende a 0 que es el límite de la función. Sustituiremos todos los ∆x por [0] en toda la ecuación y se multiplicara (Variable multiplicada por 0 da 0)

∆y/∆x = 3x² + 3x[0] + [0]² + 4x + 2[0] – 3

∆y/∆x = 3x² + 4x – 3

Este es el resultado final de una derivación mediante la regla de los 4 pasos para derivar una ecuación.